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数学课堂|平面几何辅助线技巧

2022-12-07浏览次数0

几何可以说是数学的半壁江山,囊括了无数的重点知识、难点知识、无数的中高考考点……学好几何,数学考试就不在话下!大撕兄为大家精心整理了关于平面几何最重要的辅助线技巧。

在几何问题中,添加辅助线可以说是解题的关键!辅助线画得好,解题轻松又快速!辅助线画不对,可能就是解题绕弯又出错!如何快速添加利于解题的辅助线?诀窍都在下面了!


由角平分线想到的辅助线

一、截取构全等

如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自己证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。


二、角分线上点向两边作垂线构全等

如图,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180

分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。进而证∠ADC与∠B之和为平角。


三、三线合一构造等腰三角形

如图,AB=AC,∠BAC=90,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE。求证:BD=2CE。

分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。


四、角平分线+平行线

如图,AB>AC,∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。

分析:AB上取E使AC=AE,通过全等和组成三角形边边边的关系可证。


由线段和差想到的辅助线

截长补短法

AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。



分析:过C点作AD垂线,得到全等即可。


由中点想到的辅助线

一、中线把三角形面积等分

如图,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

分析:利用中线分等底和同高得面积关系。


二、中点连中点得中位线

如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。

分析:连BD取中点连接,通过中位线得平行传递角度。


三、倍长中线

如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。

分析:倍长中线得到全等易得。


四、RTΔ斜边中线

如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。

分析:取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。


由全等三角形想到的辅助线

一、倍长过中点得线段

已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。

分析:利用倍长中线做。


二、截长补短

如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证:∠A+∠C=180

分析:在角上截取相同的线段得到全等。


三、平移变换

如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE

分析:将△ACE平移使EC与BD重合。


四、旋转

正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数

分析:将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。


由梯形想到的辅助线

一、平移一腰

所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17。求CD的长。

分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。


二、平移两腰

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。

分析:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。


三、平移对角线

已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。

分析:通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。


四、作双高

在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。

分析:作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。


五、作中位线

(1)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF//AD

分析:连DF并延长,利用全等即得中位线。

(2)在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=90°,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。

分析:在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

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